LINEAR PROGRAMMING

OLEH : HARRY KURNIAWAN


PENDAHULUAN

Latar Belakang
Masalah keputusan yang biasa dihadapi para analis adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Rugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu dan jarak.
Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan diterapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap :
1. Menentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan menyatakan dalam symbol matematik
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu
Linear programming (program linier) merupakan salah satu teknik penyelesaian riset operasi dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan masalah-masalah optimasi (memaksimalkan atau meminimumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linier. Demikian pula kendala-kendala yang ada juga berbentuk linier.
Persoalan program linier adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel (variable pengambilan keputusan) sedemikian rupa sehingga nilai funsi tujuan atau objektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan (kendala-kendala) yang ada yaitu pembatasan ini harus dinyatakan dengan ketidaksamaan yang linier (linear inequalities).
Suatu persoalan disebut persoalan program linier apabila memenuhi hal-hal sebagai berikut :
1. Tujuan (objective)
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan (objective function). Fungsi tujuan tersebut dapat berupa dampak positip, manfaat-manfaat, atau dampak negatif.
2. Alternatif perbandingan.
Harus ada sesuatu atau alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan terbatas. Misalnya keterbatasan tenaga, bahanmentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan lain-lain.
4. Perumusan Kuantitatif.
Fungsi tujuan dan kendala tersebut harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam model matematika.

5. Keterikatan Perubah.
Perubah-perubah yang membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala tersebut harus memiliki hubungan keterikatan hubungan keterikatan atau hubungan fungsional.

Tujuan
- Mahasiswa mengetahui teknik pengambilan keputusan dalam rangka kegiatan perencanaan hutan dengan menggunakan Linear Programming
- Mahasiswa dapat menghitung dengan menggunakan teknik Linear Programming, baik manual maupun dengan menggunakan software



TINJAUAN PUSTAKA

Linear Programming merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masingmasing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Pada masa modern sekarang, Linear Programming masih menjadi pilihan dalam upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Dalam memecahkan masalah di atas, Linear Programming menggunakan model matematis. Sebutan “linear” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Linear Programming dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan Linear Programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Pada dasarnya, persoalan Linear Programming dapat dirumuskan sebagai berikut :
Cari x1,x2, …, xj, …, xn.

sedemikian rupa sehingga
Z = c1×1 + c2×2 + … + cjxj + … + cnxn = Optimum (Maksimum atau Minimum)
Dengankendala:

Asumsi-asumsi Linear Programming
Asumsi-asumsi Linear Programming dapat dirinci sebagai berikut.
o Proportionality
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proporsional) dengan perubahan tingkat kegiatan.
Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + …..CnXn
Setiap penambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z dengan C1. Setiap penambahan 1 unit X2 akan menaikkan Z dengan C2, dan seterusnya.
a11X1 + a12X2 + a13X3 + ….. + anXn ≤ b1
Setiap penambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a11. Setiap penambahan 1 unit X2 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a12, dan seterusnya. Asumsinya adalah, setiap ada kenaikan kapasitas riil tidak perlu ada biaya persiapan (set up cost).

o Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam Linear Programming dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
Z = 3X1 + 5X2 di mana X1 = 10; X2 = 2;
Sehingga Z = 30 + 10 = 40
Jika X1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi, maka nilai Z menjadi 40 + 3 = 43. Jadi, nilai 3 karena kenaikan X1 dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2 (X2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X1 dan X2.

o Divisibility
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan.

o Deterministic (certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model Linear Programming (aij, bi, cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Apabila suatu masalah Linear Programming hanya mengandung dua kegiatan (variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.














METODOLOGI

Waktu dan Tempat
Praktikum Perencanaan Hutan dengan judul Linear Programming ini dilaksanakan pada hari Sabtu, 6 Maret 2010 pukul 12.00 WIB sampai dengan selesai di Ruang 203 Departemen Kehutanan Fakultas Pertanian Universitas Sumatera Utara.

Bahan dan Alat
Bahan-bahan yang digunakan dalam praktikum ini adalah contoh soal pada materi kuliah perencanaan hutan dan kertas milimeter. Beberapa alat yang digunakan, antara lain; kalkulator, laptop dan software QSB.

Prosedur
Prosedur dalam praktikum ini dibagi menjadi dua tahap, yakni;
I. Perumusan Masalah dalam Linear Programming
Prosedur yang digunakan untuk merumuskan masalah ke dalam bentuk linear programming adalah sebagai berikut;
• Dimasukkan kriteria yang terdapat pada soal ke dalam bentuk tabel sebagai berikut;
Tabel 1. Format tabel perumusan masalah Linear Programming
Sumberdaya Model Ketersediaan Sumberdaya
A B
kriteria A
kriteria B
fungsi tujuan (Z)
variabel keputusan
• Ditentukan variabel keputusan yang akan dipakai
• Ditentukan fungsi tujuan (Z) yang akan dipennuhi
• Ditentukan fungsi constrain yang akan dipakai
• Ditentukan fungsi non negatif constrain

II. Menghitung Nilai Variabel Keputusan
Dalam praktikum ini dipakai 5 metode berbeda untuk menghitung nilai variabel keputusan yang telah diketahui sebelumnya, yakni;
a. metode invers
• digunakan rumus invers sebagai berikut;
A X = B  X = B / A  X = A-1 B
A = (1 / | A |) c -b
-d a
| A | = (a . c) - (b . d)
• fungsi constrain diubah ke dalam bentuk matriks
contoh: -2X1 + 3X2 = 5 Ket: Biru = Matriks A
-3X1 + 4X2 = 8 Merah = Matriks B
• dihitung nilai variabel keputusan dengan menggunakan rumus di atas
b. Gaus-Jordan row reductions
• Lakukan transformasi matriks (A / B) ke (I / B)
• Kalikan baris ke-1 dengan -1
• Kalikan baris ke-1 dengan 3 dan tambahkan pada baris ke-2
• Bagilah baris ke-2 dengan -2
• Kalikan baris ke-2 dengan 2 dan tambahkan pada baris ke-1
• Apabila telah terbentuk matriks identitas (1) maka X1 dan X2 dapat ditentukan.
c. Crammer’s rule
Metode Crammer ini menggunakan rumus sebagai berikut;

d. Metode grafik
Merupakan suatu cara sederhana yang dapat digunakan untuk menggambarkan masing-masing persamaan garis. Dilakukan dengan cara menetapkan salah satu variabel dalam suatu persamaan sama dengan nol dan kemudian mencari nilai variabel yang lain. Misalnya pada kendala pertama jika X1 = 0 maka 5X2 = 10 atau X2 = 5. Dengan cara yang sama X2 = 0 maka X1 = 10. Selanjutnya kedua titik ini (0 , 5) dan (10 , 0) dihubungkan hingga membentu suatu garis lurus yang akan memotong sumbu X dan Y.
e. Penggunaan software QSB
• Buka program QSB dengan menjalankan file ”PROG1”
• Pilih option 2 dengan fungsi Enter new problem lalu tekan enter
• Ketikkan nama problem, misalnya ketersediaan sumberdaya lalu tekan enter
• Pilih kriteria maximize (1) lalu tekan enter
• Isikan jumlah variabel, yakni 2 lalu tekan enter
• Isikan jumlah constrain yang dipakai, yakni 2 lalu tekan enter
• Pilih Yes (Y) tekan enter lalu space
• Isilah fungsi Z dengan menekan tombol enter
• Isilah fungsi constraint dengan menekan tombol enter
• Setelah selesai tekan tombol space lalu tekan sembarang tombol
• Pili option 5 (solve problem) lalu tekan tombol enter
• Pili option 2 (solve and display the final tableau) lalu tekan tombol enter
• Selanjutnya akan muncul tabel akhir linear programming serta nilai optimal pada fungsi tujuan (Z).











HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil
I. Perumusan Masalah dalam Linear Programming
Tabel 2. Perumusan masalah Linear Programming pada soal 1
Sumberdaya Model Ketersediaan Sumberdaya
A B
waktu 2 1 6
unit kayu 7 8 8
fungsi tujuan (Z) 120 80
variabel keputusan X1 X2
Berdasarkan soal di atas maka formulasi LP secara lengkap dapat ditulis sebagai berikut;
Objektif fungsi max : Z = 120X1 + 80X2 dengan syarat
Fungsi constrain : 2X1 + X2 < 6
7X1 + 8X2 < 28
Non negatif constrain : X1 dan X2 > 0
Tabel 3. Perumusan masalah Linear Programming pada soal 2
Sumberdaya Model Ketersediaan Sumberdaya
NPK Reguler NPK Terbaik
bahan aktif (%) 25 40 500
bahan lainnya (%) 75 60 1200
fungsi tujuan (Z) 250 300
variabel keputusan X1 X2
Berdasarkan soal di atas maka formulasi LP secara lengkap dapat ditulis sebagai berikut;
Objektif fungsi max : Z = 250X1 + 300X2 dengan syarat
Fungsi constrain : 0,25X1 + 0,4X2 < 6
0,75X1 + 0,6X2 < 28
Non negatif constrain : X1 dan X2 > 0



II. Menghitung Nilai Variabel Keputusan
Penghitungan nilai variabel keputusan pada kedua soal di atas dengan menggunakan 5 metode berbeda menghasilkan nilai sebagai berikut;
a. Metode invers
1. X1 = 1200 dan X2 = 500
2. X1 = 20/9 dan X2 = 14/9
b. Metode Gauss-Jordan
1. X1 dan X2 tidak dapat ditentukan
2. X1 dan X2 tidak dapat ditentukan
c. Metode Cramers
1. X1 = 1200 dan X2 = 500
2. X1 = 20/9 dan X2 = 14/9
d. Metode grafik
Proses penghitungan nilai variabel keputusan dengan menggunakan metode grafik menghasilkan nilai Z optimum yang dapat dilihat pada tabel di bawah ini;
Tabel 4. Variabel keputusan dengan fungsi z optimum pada soal no 1
Titik X1 X2 Total Z ($)
A 0 1200 375.000
B 1200 500 450.000
C 1200 0 300.000
D 0 0 0

Tabel 5. Variabel keputusan dengan fungsi z optimum pada soal no 2
Titik X1 X2 Total Z ($)
A 0 3,5 280
B 0 0 0
C 2,3 0 276
D 2,3 1,5 296

Tabel 6. Variabel keputusan dengan fungsi z optimum pada soal no 3
Titik X1 X2 Total Z
A 0 4 40
B 0,5 3,5 45
C 0,5 0 10
D 0 0 0
e. Penggunaan software QSB
Dengan menggunakan bantuan software maka proses penghitungan nilai variabel keputusan pada fungsi Z optimum dapat dengan mudah ditentukan. Dalam praktikum ini digunakan software QSB sebagai alat bantu sehingga menghasilkan data sebagai berikut;









Gambar 1. Hasil akhir soal no 1 menggunakan software QSB










Gambar 2. Hasil akhir soal no 2 menggunakan software QSB

Pembahasan
Pada soal nomor satu, diperoleh bahwa nilai “Z maks” dari perhitungan manual maupun perhitungan menggunakan software QSB adalah sama, yaitu memiliki nilai sebesar “391,11”. Begitu juga pada soal nomor dua, diperoleh bahwa nilai “Z maks” dari perhitungan manual maupun perhitungan menggunakan software QSB adalah sama, yaitu memiliki nilai sebesar “450000”. Hal ini menunjukkan bahwa perhitungan manual yang dilakukan adalah benar, karena memiliki nilai yang sama dengan perhitungan menggunakan software QSB.
Dari software QSB diketahui bahwa “C(j)” adalah hasil dari koefesien “Z maks” yang digunakan sebagai fungsi dalam mencari nilai “Z maks”, sedangkan “B(i)” adalah hasil dari “X1 dan X2”, yang digunakan juga sebagai nilai “X” dalam mencari “Z maks”. Pengertian symbol di atas dapat diketahui dengan menyesuaikan antara hasil perhitungan manual dan perhitungan dengan software.
Hasil dari X1 dan X2 pada soal nomor dua tidak sesuai antara perhitungan manual dengan perhitungan menggunkan software QSB, pada perhitungan manual diperoleh X1=1200 dan X2= 500, sedangkan pada perhitungan dengan software diperoleh X1=500 dan X2=1200. Akan tetapi memiliki nilai Z maks yang sama antara perhitungan manual dan perhitungan menggunakan software yaitu sebesar “450000”. Berbeda dengan soal nomor satu yang memiliki niali X1 , X2 dan Z maks yang sama antara perhitungan manual dengan perhitungan menggunakan software. Hal ini disebabkan oleh kesalahan memasukkan data pada prosedur penggunaan software QSB, kemungkinan kesalahan dalam mengatur option-option yang ada pada software QSB, karena software bekerja secara otomatis makanya hasil Z maks yang diperoleh adalah sama yaitu “450000”, walaupun nilai X1 dan X2 berbeda.
Penggunaan software dalam menghitung Z maks pada Linear Programming dapat lebih efektif dengan hasil yang maksimal. Namun perhitungan secara manual juga diperlukan dala perhitungan Linear Programing, karena kesalahan perhitungan yang dijumpai adalah perhitungan nyata dan dapat diperbaiki secara manual dengan melihat kembali perhitungan rumus yang telah dilakukan sebelumnya. Sedangkan bila menggunakan software, kesalahan yang dijumpai adalah perhitungan dalam sistem program computer, yang tidak dapat diketahui secara manual, kecuali kesalahan memasukkan data dan pelaksanaan prosedur. Kesalahan fatal yang dijumpai dalam penggunaan software dapat berupa kesalahan installer yang diperoleh secara bajakan, kerusakan software yang disebabkan oleh virus, kerusakan sotware yang disebabkan oleh adanaya sistem software yang terhapus secara tidak sengaja dan kesalahan sitematis lainnya. Maka dari itu perhitungan secara manual juga diperlukan sebagai perbandingan hasil dari perhitungan menggunakan software, bila perhitungan secara manual hasilnya sama dengan perhitungan menggunakan software maka dapat diambil kesimpulan hasil yang diperoleh adalah benar tanpa keraguan.
Metode grafik yang dilakukan dalam perhitungan manual adalah metode sebagai penampakan secara visual. Tujuannya adalah agar lebih mudah melihat nilai-nilai yang diperoleh secara visual yang tidak hanya berbentuk angka, nmaun dapat diwujudkan ke dalam bentuk grafik. Dalam memasukkan data ke dalam grafik harus teliti, sebab bila niali koordinat berbeda sedikit saja, maka hasil yang diperoleh kemungkinan besar salah.
Pada perhitungan manual yang dilakukan diketahui bahwa perhitungan dengan menggunakan metode “Gauss-Jordan” nilai X1 dan X2 tidak dapat diketahui baik pada soal nomor satu dan soal nomor dua. Hal ini dikarenakan oleh besarnya niali matriks dan banyaknya bilangan desimal yang tidak sesuai dengan matriks identitasnya bila dilakukan perhitungan, sehingga nilai X1 dan X2 tidak dapat diketahui. Untuk menangani permasalahan seperti ini dapat dilakukan dengan perhitungan menggunakan software atau perhitungan manual dengan menggunakan metode lain.














KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diperoleh dari praktikum ini adalah:
1. Perhitungan linear programming menggunakan software dan perhitungan secara manual masing-masing memiliki kelemahan dan kelebihan.
2. Perhitungan linear programming menggunakan software jauh lebih efektif dibandingkan dengan perhitungan manual
3. Dari praktikum yang dilakukan diperoleh hasil “Z maks” yang sama pada soal nomor satu, baik dengan software QSB atau dengan perhitungan manual yaitu sebesar “391,11”
4. Begitu juga hasil “Z maks” pada soal nomor dua memiliki nilai yang sama antara penggunaan software QSB dan dengan perhitungan manual yaitu sebesar 450000”
5. Metode “Gauss-Jordan” dalam perhitungan manual tidak dapat diketahui nilai “X1 dan X2” nya

Saran
Penggunaan komputer atau software dalam menganalisa linear programming dalam suatu masalah sangat efektif dan efisien dengan hasil yang optimal. Sebaiknya metode yang efektif dan efisien harus dikembangkan dalam pengaplikasiannya, karena selain memudahkan proses juga memberikan hasil yang terbaik dan dapat mencakup lebih dari dua variabel dalam linear programming.








DAFTARA PUSTAKA

Gilmore, P.C., & R.E. Gomory. 1961. A Linear Programming Approach to the Cutting-Stock Problem. Operations Research 9: 849-859.

Manetsch, T.J. and J.F. G. L. Park. 1977. System Analysis and Simulation with Aplications to Economic and Social System. Part I. Third Edition. Departement of Electrical Engineering and System Science, MSU, East Lansing, Michigen.

Pai, M.A., and Paranjothi, SR. 1975. ‘Optimal Power Flow with Security Constraints using Successive Linear Programming’, IEEE PES Summer meeting.

Reveliotis, Spyros.1997. An Introduction to Linear Programming and the Simplex Algorithm. http://www.isye.gatech.edu/~spyros/LP/LP.html.(diakses pada tanggal 27 April 2010) .

Stott, B, a.d Marinho, J.L. 1979. ‘Linear Programming for Power System Network
Security Applictions’, IEEE Trans, PAS-98, pp. 837-848.

Taha, H. A. 1975. Integer Programming Theory : Appli-cation and Computation. New York: Academic Press.

Van de Panne, C.1971. ‘Linear Programming and Related techniques’, North Holland Publising Company.




















Praktikum Perencanaan Hutan Medan, 9 April 2010

APLIKASI LINEAR PROGRAMMING DENGAN PERHITUNGAN MANUAL DAN PENGGUNAAN
SOFTWARE QSB


Dosen Pembimbing:
Rahmawati S.Hut., M.Si., Ph.D.


Oleh:


Harry Kurniawan 071201001
Moehar Maraghiy Harahap 071201012







PROGRAM STUDI MANAJEMEN HUTAN
DEPARTEMEN KEHUTANAN
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2010





KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan laporan ini dengan baik.
Adapun laporan dengan judul Aplikasi Linear Programming dengan Perhitungan Manual dan Penggunaan Software QSB ini merupakan salah satu tugas dalam Praktikum Perencanaan Hutan. Penulis mengucapkan terima kasih kepada ibu Rahmawati, S.Hut., M.Si., Ph.D. selaku dosen pengasuh pada mata kuliah Perencanaan Hutan, yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan laporan ini.
Penulis menyadari bahwa laporan ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan laporan ini. Akhir kata, penulis berharap agar laporan ini dapat bermamfaat bagi pihak yang membutuhkan.
















DAFTAR ISI

halaman
KATA PENGANTAR ............................................................................... i
DAFTAR GAMBAR ................................................................................. iii
DAFTAR TABEL ...................................................................................... iv
PENDAHULUAN
Latar Belakang ................................................................................. 1
Tujuan ............................................................................................... 2

TINJAUAN PUSTAKA ........ .................................................................... 3

METODOLOGI
Waktu dan Tempat ........................................................................... 6
Bahan dan Alat ................................................................................. 6
Prosedur 6

HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil .................................................................................................. 9
Pembahasan ..................................................................................... 11

KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan ....................................................................................... 14
Saran .................................................................................................. 14

DAFTAR PUSTAKA







DAFTAR GAMBAR

Halaman
Gambar 1. Hasil akhir soal no 1 menggunakan software QSB 11
Gambar 2. Hasil akhir soal no 2 menggunakan software QSB 11





















DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1. Format Tabel Perumusan Masalah Linear Programming 6
Tabel 2. Perumusan Masalah Linear Programming pada soal 1 9
Tabel 3. Perumusan Masalah Linear Programming pada soal 2 9
Tabel 4. Variabel Keputusan dengan fungsi z Optimum pada Soal no 1 10
Tabel 5. Variabel Keputusan dengan Fungsi z Optimum pada Soal no 2 10
Tabel 6. Variabel Keputusan dengan Fungsi z Optimum pada Soal no 3 10